ЧИСЛО П

СПАСИБО МАКСИМУ ЧИРКУНОВУ И АРТУРУ РЫБАЛКО за подготовленный материал!!!

"КОРОЛЬ МАТЕМАТИКИ"

КОРОЛЬ МАТЕМАТИКИ
«В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королем математиков“»
Колмогоров А.Н.
Представьте себе, что вам необходимо сложить числа от 1 до 100. Сколько бы времени вам понадобилось для того, чтобы вычислить заданную сумму на калькуляторе, а устно? А если вы учитесь не в 11-ом и даже не в 9-ом классе, а всего лишь в третьем? Слабо?
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел 1 + 2 + 3 + 4 +……+ 100. Каково же было изумление учителя, когда буквально через пару минут один из учеников поднял руку и предложил правильный ответ. Этим учеником был Карл Фридрих Гаусс, впоследствии великий немецкий математик, астроном и физик. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат .
Конечно, любой одиннадцатиклассник решит предложенную задачу, зная что а1=1;
а n =100; n=100 и S n


КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
(нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777 — 23 февраля 1855)

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг.
Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом.
В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца.
До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.

Юному Гауссу повезло с учителем: М. Бартельс оценил исключительный талант юного Карла и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792—1795).

Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю.

Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу.

Список терминов, связанных с именем Гаусса

* Алгоритм Гаусса (вычисление даты пасхи)
* Гаусс – единица магнитной индукции (физика)
* Дискриминанты Гаусса
* Гауссова кривизна
* Интерполяционная кривая Гаусса
* Лента Гаусса
* Малая планета № 1001 (Gaussia) (астрономия)
* Метод Гаусса (решение систем линейных уравнений 10 класс)
* Метод Гаусса - Жордана
* Метод Гаусса - Зейделя
* Нормальное или Гауссово распределение (12 класс "Теория вероятностей и описательная статистика")
* Прямая Гаусса (геометрическое понятие)
* Пушка Гаусса (физика – электромагнитный ускоритель масс)
* Ряд Гаусса
* Теорема Гаусса – Венцеля (построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки 8 класс, 12 класс)
* Фильтр Гаусса
* Формула Гаусса – Бонне

ru.wikipedia.org/wiki/Гаусс,_Карл_Фридрих - 149k

Тест на знание теоремы Пифагора, теоремы Евклида, теоремы о высоте.

1 . Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то справедливы
следующие утверждения
a) Из двух наклонных меньше та, у которой проекция больше;
b) Если наклонные равны, то и их проекции равны;
c) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше;
d) Любая наклонная меньше перпендикуляра;
e) Равные проекции могут иметь не равные наклонные;
f) Любая наклонная больше перпендикуляра;
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 18 см, а один из катетов 10 см. Найди
величину второго катета.

3.Тройка данных чисел выражает стороны треугольника.
Укажите, какой набор чисел соответствует прямоугольному треугольнику?
a) 3; 4; 5;
b) 6; 8; 10;
c) 12; 16; 20;
d) 8; 10; 12

4. Найдите среднее арифметическое чисел.

5. Найдите среднее геометрическое чисел

6. Выберите правильные варианты ответов:

В прямоугольном треугольнике…
a) квадрат гипотенузы равен сумме катетов;
b) катет равен разности квадратов гипотенузы и другого катета;
c) катет равен сумме гипотенузы и другого катета;
d) квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета;
e) с= a+ b
f) c2 = a + b
g) c2 = a2 + b2

7. Выбери правильную формулировку теоремы о высоте.
a) Высота, проведеная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна среднему
геометрическому проекций катетов на гипотенузу.
b) В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов.
c) fc =h 2
d) cg = h2
e) fg =h 2
f) fc =h

8. Выбери правильную формулировку теоремы Евклида.
a) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению проекций катетов.
b) fg = a2
c) fc =a 2
d) cg =a 2
e) gc =b
f) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ (10 класс, подготовка к экзамену 12 класс)

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. Найти угловой коэффициент прямой 12x-3y-6 = 0.

2. Найти угловой коэффициент прямой 0,75x+3y+4 = 0.

3. Дана прямaя 3x-2y-12=0. Через какую точку, из нижеперечисленных, она проходит: (2,-9),(2,-3),(1,-5)?

4. Дана прямaя 2x+3y-24 = 0. Через какую точку, из ниже
перечисленных, она не проходит: (9,2),(-3,-10),(3,6)?

5. Найти площадь треугольника, образованного осями координат и прямой 2x+3y+12=0.

6. Найти площадь треугольника, образованного осями координат и прямой
2x-3y-6=0.

7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2,-3) и с угловым коэффициентом, равным 2.

8. Найти уравнение прямой, угловой коэффициент которой равен -2, и которая проходит через точку (-1,3).

9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-2,1), и образующей с осью ОХ угол 45 градусов.

10.Прямая образует с осью ОХ угол 135 градусов и проходит через точку (-2,3). Найти уравнение данной прямой.

11. Прямая проходит чрез точки (1,-3), (3,5). Найти угловой коэффициент этой прямой.

12. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки (2,-1), (-1,2).

13. Параллельны ли прямые 8x-4y+7=0, y =2x+7?

14. Перпендикулярны ли прямые 2x-3y+4=0, 3x+2y-7=0?

15. Прямые 6x-3y+5=0 и nx+2y+4=0 перпендикулярны. Найти n.

16. Прямые nx+3y-7=0 и 3x-y+5=0 параллельны. Найти n.

17. Найти точку пересечения прямых y=2x-4 , y=-x+2.

18. Найти точку пересечения прямых 2x-3y-8=0, x+2y+3=0.

19. Найти угловой коэффициент второй прямой , если уравнение первой : 2x+y+3=0, а угол между ними 45 градусов.

20. Найти угол между прямыми y=-2x+5 и y=3x-4.

Задачи на проценты для подготовки к экзамену за 9 класс

№ 1. Длина прямоугольника 60дм, а ширина его составляет 65 % длины. Найди площадь прямоугольника.

№ 2. Лесничество высадило с помощью учеников 1792 саженца, превысив план на 12%. Сколько деревьев лесничество предполагало высадить?

№ 3. Кукуруза содержит 22% крахмала. Сколько крахмала содержится в50 кг кукурузы?

№ 4. Основание треугольника 68см, а высота на 15% больше основания. Найди площадь треугольника.

№ 5. Молоко содержит 20%сливок, а сливки – 25% масла. Сколько надо взять молока, что бы получить 120кг масла?

№ 6. Рабочий изготовил 483 детали, что составило115% его недельного плана. Каков недельный план рабочего?

№ 7. В магазин привезли 750 кг яблок. В первый день продали 8% яблок, во второй 10% яблок, а в третий продали 20% всех оставшихся яблок. Сколько килограммов яблок осталось в магазине после третьего дня продажи?

№ 8. Хуторянин предполагал получать в среднем 5000кг молока в месяц, а получал 5400кг. Найди, на сколько процентов хуторянин получил молока больше, чем предполагал?

№ 9. Из 36 учащихся класса на экскурсию отправилось 28. Найди, сколько процентов учащихся было на экскурсии.

№ 10. Боковая сторона равнобедренного треугольника составляет 35% его периметра. Найди периметр треугольника, если основание 12см.

№ 11. Площадь участка земли 0,8 га. Под строения использовано 10%, а 40% остальной площади заняты под пашню. Какова площадь пашни?

№ 12. Цена книги снизилась со146 кр до 128 кр. На сколько процентов уменьшилась цена книги?

№13. После снижения цены швейной машины на 14% она стала стоить 2752 кроны. На сколько крон снизилась цена швейной машины?

№ 14. Высота параллелограмма 70мм, что составляет 87,5% его основания. Найди площадь параллелограмма.

№ 15. Юра должен прочитать книгу, в которой 260страниц. За три дня он прочитал 180 страниц. Сколько процентов книги прочитал Юра?

№16. Путешественники прошли 60 % всего маршрута пешком, 15% проехали на автобусе и оставшийся путь - на корабле. Найди длину всего маршрута, если путь на корабле равнялся 28 км?

№ 17. Куртка стоила 650 крон. Весной цена куртки снизилась сначала на 5%, а затем еще на 8%. Сколько стала стоить куртка после второго снижения цены?

№ 18. Дети собрали 8 кг лекарственных растений. После высушивания лекарственные растения стали весить 2,6кг. На сколько процентов уменьшился их вес после высушивания?

№19. Длина ткани в рулоне 35 метров. За неделю продали 28 метров. Сколько процентов ткани осталось продать?

№20. Доход семьи распределяется так: 35% на продукты, 30% на оплату квартиры и коммунальных услуг, 8% на одежду и обувь. Сколько денег еще остается в семье, если на продукты уходит на 400 крон больше, чем на оплату квартиры и коммунальных услуг?

№ 21. Найди число, 20% которого на 3,5 больше, чем 15% самого числа.

№22. Количество жителей города выросло с 45000 до 46500. Найди прирост жителей города в процентах?

№23. При высушивании трава теряет 66% своего веса. Сколько было скошено травы, если полученное из неё сено, весит 185 центнеров.

№ 24. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину увеличить на 15%?

№ 25. Цена часов снизилась с 285 крон до 250 крон. На сколько процентов снизилась цена часов?

№ 26. Ширина прямоугольника составляет 65% его длины. Найди площадь прямоугольника, если его периметр равен 13,2 метра.

№ 27. Из 66 учащихся пятых классов 18 учатся на оценки «4» и «5», а из 58 учащихся шестых классов так учатся 15. В каких классах, в пятых, или в шестых Процент учащихся на «4» и «5» больше?

№28. На сушку привезли 3,6 тонн зерна. После просушки сено стало весить 2,7 тонны. На сколько процентов уменьшился вес зерна?

№ 29. В книге 180 страниц. В первый вечер Томас прочитал часть книги, составляющую 20% от непрочитанной части. Сколько страниц ещё осталось прочитать Томасу?

№ 30. В сахарной свекле содержится 15% сахара. Сколько сахара можно получить из 60 тонн сахарной свеклы?

№31. Длина прямоугольника 15 см, а площадь 180 см2. На сколько процентов длина прямоугольника больше его ширины?

№32. Измерения прямоугольника 45см и 30см. Длину прямоугольника уменьшили на 14%. На сколько процентов нужно увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

№ 33. Сколько воды нужно взять для приготовления из 40г соли 4% - го раствора?

№34. В каком случае начальная цена снизится больше: когда сначала снизят цену на 15%, а затем полученную цену снизят ещё на 25%, или когда начальную цену снизят оба раза на 20%?

Образцы решения типовых задач на проценты

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

I. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЦЕЛОГО

Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?
РЕШЕНИЕ 1: Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2: Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика –
общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%

х =

ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.



II. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

ПРИМЕР: Коля истратил в парке аттракционов 120 крон, что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
РЕШЕНИЕ 1: В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение
этой части.
75% = 0,75
120 : 0,75 = 160

РЕШЕНИЕ 2: Пусть х крон было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 крон, что составило 75%, то
120 крон– 75 %
х крон – 100 %

х =

ОТВЕТ:У Коли было 160 крон.


III. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?


ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %

х =

ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1:

РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %

х =

ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.


IV. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТАХ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ

ТИПОВОЙ ВОПРОС:
НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?

Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)


ПРИМЕР: Цена платья снизилась с 1250 крон до 1000 крон. Найди на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:

1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1250 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:
ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.

NB! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

ПРИМЕР: Цена платья повысилась с 1000 крон до 1250 крон. Найди на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:

1) 1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 крон (т.е. то, что было изначально)
3)
Решение задачи одним действием:

РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (кр) на столько изменилась цена
В этой задаче первоначальная цена 1000 крон 100%, тогда изменение цены 250 крон составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 крон – 100 %
250 крон – х %

х =
ОТВЕТ: Цена платья увеличилась на 25%.




V. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА)

ПРИМЕР: Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найди на сколько процентов изменилось число?

Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.

РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%
а новое число х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)

х =
4)Таким образом в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%


РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%
а новое число ? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)


? =
4) Таким образом в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х(полученное), (см. IV тип решения задач), тогда




ОТВЕТ: Число увеличилось на 2%.